Autores
| Omaida Sepúlveda Delgado | Robinson Julian Serna Vanegas | Nelsy Rocío González Gutiérrez
Palabras claves
- Álgebras - Anillos - Diagramas de Cayley - Homomorfismos - Ideales - Grupos - Módulos
DOI: 10.19053/9789586607391.9789586607407
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Descripción
El presente libro está diseñado para ser utilizado en un curso básico de estructuras algebraicas. El texto ofrece un panorama general de las estructuras de grupo, anillo, módulo y R-álgebra, y está diseñado para ser utilizado en un curso de un semestre académico (16 semanas). El capítulo 1 provee las nociones básicas y ejemplos de grupos de simetrías, tablas de grupo, conjuntos generadores y diagramas de Cayley. En este capítulo, nos enfocamos más en la conceptualización y visualización básica de los grupos que en la formalidad. Los capítulos 2 y 3, por otro lado, exponen las nociones básicas de subgrupo, subgrupo normal, isomorfismo, homomorfismos y grupo cociente, ofreciendo una perspectiva intuitiva de estos conceptos desde el coloreo de tablas de grupo y los diagramas de Cayley. El capítulo 4 está dedicado a presentar un panorama general de la teoría de anillos desde lo estudiado en los capítulos anteriores e incluyendo nociones nuevas, como los ideales primos y maximales. Finalmente, el libro introduce y provee ejemplos de R-módulos, R-submódulos y R-álgebras en el capítulo 5, apuntando a casos específicos como los Z-módulos (o grupos abelianos) y los F[x]-módulos, con el fin de despertar el interés del lector para continuar su estudio del álgebra. El texto se basa en la idea de “aprender haciendo”, lo que permite que el estudiante redescubra por sí mismo ejemplos y propiedades básicas de estas estructuras. Además, se han formulado preguntas, actividades de clase y ejercicios a medida que se avanza en la exposición, con el fin de que el estudiante tenga un rol activo dentro del aula.
Introducción.............................................................................................vii
1. Grupos...........................................................................................1
1.1. ¿Qué es un grupo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . 2
1.2. Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . 6
1.3. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ........ . . 12
1.4. Conjuntos generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23
1.5. Tabla de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . 26
1.6. Diagramas de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . 28
2. Subgrupos y grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ...... .35
2.1. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 35
2.2. Diagrama reticular de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
2.3. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 53
2.4. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 65
3. Homomorfismos y teoremas de isomorfismo..........................71
3.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . . . 71
3.2. Los teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Anillos...............................................................................................85
4.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .. . . . . 86
4.2. Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . 97
4.3. Ideales y anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . 100
4.4. Ideales primos y maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . 108
5. Nociones básicas de Módulos y R-álgebras.............................115
5.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 117
5.2. Criterio de submódulos, Z-módulos y F[x]-módulos . . . .. 122
5.3. R-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................126
Bibliografía............................................................................................132
Índice de figuras...................................................................................134
Nomenclatura.......................................................................................135
Índice alfabético...................................................................................139
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Nombre invertido: Sepúlveda Delgado, Omaida
Identificadores:
Afiliación profesional:
Biografía:
Doctora en Ciencias de la Educación por la Universidad Pedagógica y
Tecnológica de Colombia. Magíster en Ciencia Matemáticas por la Universidad
Nacional de Colombia. Ingeniera de sistemas por la Universidad Antonio Nariño. Especialización en Computación para la Docencia de la misma Universidad.
Licenciada en Matemáticas por la Universidad Industrial de Santander. Bachiller
Comercial. Colegio Nuestra Señora de Fátima (Bucaramanga). Profesor
Titular - Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (Tunja). Líneas de
investigación: Álgebra Abstracta (Teoría de Grupos, anillos, Lineal). Educación
Matemática (Conocimiento didáctico Matemático del profesor universitario -
Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS),
Estudios históricos, epistemológicos; Educación matemática crítica)
Investigador Junior, Coordinador del Grupo Álgebra y Análisis UPTC. omaida.sepulveda@uptc.edu.co |
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Nombre invertido: Serna Vanegas, Robinson Julian
Identificadores:
Afiliación profesional:
Biografía:
Doctor y Máster en Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia - Bogotá. Licenciado en Matemáticas de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC) - Tunja. Profesor asociado de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la UPTC - Tunja. robinson.serna@uptc.edu.co |
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Nombre invertido: González Gutiérrez, Nelsy Rocío
Identificadores:
Afiliación profesional:
Biografía:
Doctora en Ciencias de la Educación, Magíster en Ciencias Matemáticas y
Licenciada en Matemáticas y Física. Vinculada como docente de planta adscrita a la Facultad de Ciencias de la Universidad Pedagógica y Tecnológica
de Colombia-Tunja. Actualmente se desempeña como docente investigadora en los
programas de Doctorado en Ciencias de la Educación, Maestría en Didáctica de la
Matemática y, en la carrera de matemáticas de la UPTC. Integrante activa de los
grupos de investigación: Grupo de álgebra y análisis UPTC, y Grupo Somos
Maestr@s. Líneas de investigación: Álgebra conmutativa Epistemología e historia
de la matemática, Educación matemática, Saberes, conocimientos y prácticas en
la formación de profesores de matemáticas. nelsy.gonzalez@uptc.edu.co |
